Konvergensi Jangka Panjang
Bagaimana rata-rata mengendap menuju −2,70%, dan mengapa itu memakan waktu lebih lama daripada yang diduga intuisi.
Rata-rata kerugian per putaran konvergen ke −1/37 seiring bertambahnya putaran, dengan sebaran yang menyusut seperti 1/√N. Setelah 1.000 putaran pada merah, rata-ratanya biasanya berada dalam ±3% dari ekspektasinya.
Hukum Bilangan Besar
Rata-rata berjalan dari taruhan-taruhan yang saling bebas mendekati nilai harapanmatematikaNilai harapanHasil rata-rata per taruhan dalam jangka panjang. −1/37 dari nilai taruhan untuk setiap taruhan standar rolet Eropa.Baca selengkapnya →. Setelah N putaran taruhan 1:1 dengan satu unituangUnitTaruhan dasar yang dipakai suatu sistem atau seorang pemain sebagai satuan. Progresi diuraikan dalam unit agar berlaku di meja mana pun.Baca selengkapnya →, rata-rata hasil per putaran memiliki ekspektasi −1/37 dan simpangan bakumatematikaSimpangan bakuAkar kuadrat varians; jarak tipikal suatu hasil dari nilai harapan.Baca selengkapnya → 1/√N. Pada N = 100, sebaran itu 10% dari nilai taruhan, hampir empat kali sinyal 2,7%. Pada N = 1.000, sebarannya 3,2%, kira-kira sama dengan sinyalnya. Pada N = 10.000, sebarannya 1%, dan keunggulan kasino terlihat jelas. Keunggulan itu tidak terlihat dalam satu sesi dan tidak dapat disangkal dalam satu tahun.
Apa yang Konvergen dan Apa yang Tidak
Rata-rata per putaran konvergen. Totalnya tidak: total makin menjauh dari nol seiring bertambahnya N, sekitar 2,7% dari N dalam ekspektasi, dengan sebaran √N di sekitarnya. Pemain yang telah memainkan 10.000 putaran dengan $10 diperkirakan rugi $2.700, plus minus $1.000. Proporsi berjalan merahtaruhanMerahTaruhan 1:1 pada 18 angka merah. Bahasa Prancis: rouge.Baca selengkapnya → sudah lama mengendap di dekat 48,65%; saldo berjalannya tidak mengendap di mana pun.
- p10 −$440
- p25 −$280
- median −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Mengapa Intuisi Gagal
Orang mengira keunggulan kasino akan cepat terlihat karena 2,70% terdengar besar, dan mengira rentetan panjang akan “seimbang” karena hukum bilangan besarmatematikaHukum bilangan besarRata-rata dari hasil yang saling bebas konvergen ke nilai harapan seiring bertambahnya jumlah percobaan.Baca selengkapnya → menyatakan bahwa rata-rata konvergen. Kedua intuisi itu salah menilai skalanya: keunggulan kasino kecil dibandingkan dengan variansmatematikaVariansUkuran seberapa lebar hasil tersebar di sekitar nilai harapan. Tinggi untuk straight up, rendah untuk taruhan 1:1.Baca selengkapnya → satu putaran (σ = 1 unit dibandingkan dengan EV = 0,027), sehingga diperlukan (1/0,027)² ≈ 1.400 putaran agar keunggulan itu terlihat pada tingkat satu sigma. Dan konvergensi rata-rata sama sekali tidak menarik totalnya kembali; konvergensi itu hanya mengencerkan fluktuasi masa lalu.
Konvergensi untuk Taruhan Lain
Untuk straight uptaruhanStraight upSatu angka, membayar 35:1.Baca selengkapnya →, σ = 5,84, sehingga perhitungan yang sama menghasilkan (5,84/0,027)² ≈ 47.000 putaran agar keunggulan mencapai satu sigma. Pemain straight up bisa bermain bertahun-tahun tanpa keunggulan kasino dapat dibedakan dari keberuntungan dalam catatannya sendiri, sambil membayar tepat 2,70% yang sama dengan pemain merah yang melihatnya dalam hitungan minggu.
Akibatnya bagi Pengujian Sistem
Siapa pun yang mengklaim sebuah sistem berhasil seharusnya dapat menunjukkannya selama 10.000 putaran atau lebih dengan rata-rata positif yang terdokumentasi. Pada 1.000 putaran, rata-rata positif pada taruhan 1:1 adalah kejadian satu dari lima di bawah hipotesis nol; pada 100 putaran, hampir seperti lemparan koin. Simulator di situs ini menjalankan 2.000 sesi dengan panjang pilihan Anda dalam satu detik, dan itu lebih banyak bukti daripada testimoni mana pun.
Rumus
Pertanyaan
ProbabilitasmatematikaProbabilitasKemungkinan terjadinya suatu hasil, dari 0 sampai 1 atau 0% sampai 100%. Satu angka: 1/37 = 2,70%.Baca selengkapnya → untuk kembali untung makin mendekati nol selama Anda bermain. Totalnya terus turun tanpa batas.
Tidak. Artinya fluktuasi masa lalu menjadi bagian yang lebih kecil dari sampel yang lebih besar.
Untuk taruhan 1:1, sekitar 10.000 sebelum keunggulan kasino terlihat jelas. Untuk straight up, sekitar 50.000.
Bermain dengan Matematika
Coba kerjakan sendiri dulu. Setiap penyelesaian dilipat; buka saat Anda siap.
Dua orang teman memainkan 20 ronde permainan adilmatematikaPermainan adilPermainan yang tidak memberi keunggulan kepada pihak mana pun: setiap taruhan memiliki nilai harapan nol.Baca selengkapnya →, lempar koin atau merahtaruhanMerahTaruhan 1:1 pada 18 angka merah. Bahasa Prancis: rouge.Baca selengkapnya → lawan hitamtaruhanHitamTaruhan 1:1 pada 18 angka hitam. Bahasa Prancis: noir.Baca selengkapnya → dengan taruhan dikembalikan saat nolrodaNolSatu-satunya kantong hijau, yang tidak dicakup oleh taruhan 1:1, lusin, maupun kolom; sumber keunggulan kasino. Juga: nol tunggal, 0.Baca selengkapnya →, dan mencatat skor berjalan. Hitung ronde-ronde ketika masing-masing unggul (skor seri dihitung untuk yang unggul tepat sebelumnya). Mana yang lebih mungkin: keunggulan terbagi 10 ronde lawan 10, atau satu teman unggul di semua 20 ronde?
Tampilkan penyelesaian
Jawaban Satu teman unggul di semua 20 ronde jauh lebih mungkin: 35,2%, untuk salah satu dari keduanya, dibandingkan dengan 6,1% untuk pembagian rata 10 lawan 10.
Probabilitas bahwa skor berjalan yang adil seimbang setelah 2k ronde adalah u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 setelah 10 ronde dan 0,176 setelah 20. Hasil klasik, hukum arcsinus, menyatakan bahwa probabilitas seorang teman tertentu unggul tepat 2k dari 2n ronde adalah u(2k) × u(2n − 2k).
Unggul di semua 20 ronde: u(20) × u(0) = 0,176 untuk tiap teman, 35,2% untuk salah satunya. Pembagian rata: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, pembagian yang paling kecil kemungkinannya.
Jadi dalam permainan yang adil, keunggulan jarang berpindah tangan. Pemain yang unggul sepanjang malam, atau tertinggal sepanjang malam, tidak melihat hal yang luar biasa, dan itu tidak mengatakan apa pun tentang roda atau tentang keterampilan. Epstein (2013) memberikan hukum yang sama untuk permainan yang lebih panjang: separuh waktu, pihak yang lebih beruntung unggul selama lebih dari 85% permainan.
Selingan humor
Rata-ratanya konvergen. Totalnya pergi begitu saja.
Sumber
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.