Probabilitas Rentetan
Rentetan panjang satu warna sering terjadi. Rentetan itu juga tidak berarti apa-apa bagi putaran berikutnya.
Lima merah berturut-turut: 2,7%. Sepuluh: 0,074%. Dalam sesi 200 putaran, rentetan enam warna yang sama lebih sering muncul daripada tidak.
Seberapa sering rentetan kekalahan terjadi
Taruhan 1:1 pada roda nol tunggal kalah pada 19 dari 37 putaran. Setiap baris menunjukkan probabilitas bahwa serangkaian putaran tertentu semuanya kalah, dan berapa kerugian pemain Martingale, yang menggandakan taruhan setelah setiap kekalahan, sampai saat itu.
| kalah beruntun | probabilitas | sekitar 1 dari | kerugian sejauh ini | taruhan berikutnya |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
Probabilitas ini adalah 19/37 dikalikan dengan dirinya sendiri, satu kali untuk setiap kekalahan, dihitung dari satu putaran tertentu. Sesi yang panjang memiliki banyak putaran tempat rentetan seperti itu bisa bermula, sehingga dalam satu malam kemungkinannya jauh lebih besar daripada yang ditunjukkan satu baris.
Satu Rentetan
ProbabilitasmatematikaProbabilitasKemungkinan terjadinya suatu hasil, dari 0 sampai 1 atau 0% sampai 100%. Satu angka: 1/37 = 2,70%.Baca selengkapnya → bahwa k putaran berikutnya semuanya merahtaruhanMerahTaruhan 1:1 pada 18 angka merah. Bahasa Prancis: rouge.Baca selengkapnya → adalah (18/37)ᵏ. Dua: 23,7%. Lima: 2,7%. Sepuluh: 0,074%, sekitar 1 dari 1.350. Dua puluh: 1 dari 1,8 juta. Dua puluh enam, rekor Monte Carlo: 1 dari 137 juta. Ini adalah odds untuk rentetan tertentu yang dimulai pada putaran tertentu, dan hampir tidak ada orang yang sebenarnya menanyakan hal itu.
Dalam Satu Sesi
Pertanyaan yang sebenarnya dimaksud orang adalah “apakah rentetan sepanjang k akan muncul di suatu tempat dalam sesi saya?”, dan jawabannya jauh lebih besar daripada (18/37)ᵏ, karena sesi 200 putaran menawarkan hampir 200 tempat bagi sebuah rentetan untuk dimulai. Rentetan enam atau lebih dari warna yang sama, merah atau hitamtaruhanHitamTaruhan 1:1 pada 18 angka hitam. Bahasa Prancis: noir.Baca selengkapnya →, muncul dalam sesi 200 putaran sekitar 94% dari waktu; delapan atau lebih sekitar 47%; sepuluh atau lebih sekitar 14%. Jika warnanya disebutkan lebih dulu, probabilitasnya turun menjadi sekitar 75%, 27%, dan 7%. Pemain yang duduk semalaman akan melihat rentetan panjang setiap malam.
Mengapa Martingale Peduli
Setiap progresistrategiProgresiSetiap aturan yang mengubah nilai taruhan berdasarkan hasil sebelumnya. Progresi negatif menaikkannya setelah kalah, progresi positif setelah menang.Baca selengkapnya → negatif memiliki panjang rentetan yang menghancurkannya: enam kekalahan dari taruhan dasar $10 dengan batas $500, sepuluh untuk FibonaccistrategiFibonacciProgresi yang mengikuti barisan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: maju satu langkah setelah kalah, mundur dua langkah setelah menang.Baca selengkapnya →, lima untuk melipattigakan taruhan pada lusintaruhanLusin1–12, 13–24, atau 25–36, membayar 2:1.Baca selengkapnya →. Probabilitas rentetan enam kekalahan pada taruhan 1:1 adalah (19/37)⁶ ≈ 1,8% per percobaan, dan sesi 200 putaran mungkin berisi sekitar 100 percobaan, sehingga kehancuran itu datang pada kira-kira empat dari lima sesi sepanjang itu. Probabilitas rentetan adalah alasan jurang itu tidak langka.
Angka Panas dan Angka Dingin
Aritmetika yang sama berlaku untuk straight uptaruhanStraight upSatu angka, membayar 35:1.Baca selengkapnya →. Dalam 300 putaran, ekspektasi jumlah keluarnya per angka adalah 8,1; simpangan bakunyamatematikaSimpangan bakuAkar kuadrat varians; jarak tipikal suatu hasil dari nilai harapan.Baca selengkapnya → sekitar 2,8. Selalu ada angka yang keluar 15 kali dan angka yang keluar 2 kali hanya karena kebetulan, setiap kali. Papan hasil yang menyoroti angka “panas” sebenarnya menyoroti ujung atas sebuah distribusi normal. Lab menjelaskan berapa banyak putaran yang diperlukan sebelum sebuah angka panasmitosAngka panasAngka yang belakangan ini keluar lebih sering daripada yang diharapkan. Di roda yang adil, hal itu tidak memprediksi apa pun.Baca selengkapnya → berarti sesuatu (ribuan, dari satu roda yang teridentifikasi).
Sifat Saling Bebas Adalah Intinya
Rentetan sepuluh merah tidak membuat hitam lebih mungkin keluar, dan juga tidak membuat merah lebih mungkin. Keduanya 18/37. Rentetan adalah sifat dari urutan acak dan justru akan mencurigakan jika tidak ada: urutan 200 putaran tanpa rentetan yang lebih panjang dari empat akan menjadi bukti kecurangan yang jauh lebih kuat daripada urutan dengan rentetan dua belas.
Rumus
Pertanyaan
26 hitam di Monte Carlo pada 18 Agustus 1913 adalah yang terkenal. 32 merah berturut-turut dilaporkan terjadi di sebuah kasino Amerika pada tahun 1943. Keduanya sesuai dengan kebetulan, mengingat betapa banyak putaran yang dijalankan kasino.
Probabilitasnya 18/37 bagaimanapun juga. Pasang taruhan sesuai rencana Anda, atau jangan bertaruh sama sekali.
Tidak. Bias terlihat sebagai beberapa kantongperalatanKantongSalah satu dari 37 ruang bernomor pada rotor. Juga: slot, cup.Baca selengkapnya → yang lebih sering keluar selama ribuan putaran, bukan sebagai rentetan satu warna.
Bermain dengan Matematika
Coba kerjakan sendiri dulu. Setiap penyelesaian dilipat; buka saat Anda siap.
Berapa putaran roda Eropa yang diperlukan, secara rata-rata, sampai setiap angka dari 37 angka keluar setidaknya sekali?
Tampilkan penyelesaian
Jawaban Rata-rata sekitar 155 putaran; mediannya 147.
Hitung waktu tunggunya satu angka baru demi satu angka baru. Putaran pertama selalu menunjukkan angka baru. Setelah Anda melihat 1 angka, 36 dari 37 kantongperalatanKantongSalah satu dari 37 ruang bernomor pada rotor. Juga: slot, cup.Baca selengkapnya → masih baru, sehingga angka baru berikutnya memerlukan rata-rata 37/36 putaran. Setelah Anda melihat k angka, diperlukan 37/(37 − k).
Jumlahkan waktu tunggunya: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 putaran.
Sebagian besar waktu itu ada di bagian akhir. Angka terakhir saja memerlukan rata-rata 37 putaran, dan lima angka terakhir sekitar 85. Pada roda Amerika, jumlah yang sama menghasilkan sekitar 161. Ini adalah masalah pengumpul kupon (coupon collector’s problem); Wizard of Odds memberikan rata-rata yang sama.
Dalam 37 putaran roda Eropa, satu putaran untuk setiap kantong, berapa banyak angka berbeda yang dapat Anda harapkan untuk terlihat?
Tampilkan penyelesaian
Jawaban Sekitar 23,6. Kira-kira sepertiga angka, sekitar 13, tidak keluar sama sekali.
Ambil satu angka, misalnya 17. Pada setiap putaran angka itu tidak keluar dengan probabilitas 36/37, sehingga angka itu absen dari semua 37 putaran dengan probabilitas (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Setiap angka memiliki probabilitas yang sama, sehingga secara rata-rata 37 × 0,363 ≈ 13,4 angka tidak muncul dan 37 − 13,4 ≈ 23,6 angka keluar, banyak di antaranya dua kali atau lebih.
Pemain rolet menyebut ini hukum sepertiga. Ini bukan hukum, hanya aritmetika pengulangan: dalam rangkaian putaran sepanjang jumlah kantong roda, sekitar sepertiga angka tidak muncul, pada roda yang adil seperti pada roda lainnya. Pada 38 kantong, bagiannya juga (37/38)³⁸ ≈ 0,363; untuk roda yang besar, bagian itu mendekati 1/e ≈ 0,368.
Seorang teman menunjukkan dua daftar berisi 50 warna, merahtaruhanMerahTaruhan 1:1 pada 18 angka merah. Bahasa Prancis: rouge.Baca selengkapnya → atau hitamtaruhanHitamTaruhan 1:1 pada 18 angka hitam. Bahasa Prancis: noir.Baca selengkapnya →, yang masing-masing katanya berasal dari roda dengan nolrodaNolSatu-satunya kantong hijau, yang tidak dicakup oleh taruhan 1:1, lusin, maupun kolom; sumber keunggulan kasino. Juga: nol tunggal, 0.Baca selengkapnya → yang dikeluarkan. Daftar pertama berganti warna 25 kali dan rentetan terpanjangnya enam. Daftar kedua berganti warna 35 kali dan tidak pernah membentuk rentetan lebih dari tiga. Mana yang dikarang?
Tampilkan penyelesaian
Jawaban Yang kedua. Daftar sungguhan berganti warna sekitar 24 atau 25 kali. Daftar dengan 35 pergantian muncul sekitar sekali dalam 500 daftar, dan daftar tanpa rentetan lebih dari tiga sekitar dua kali dalam 100.
Setiap warna baru mengulang warna terakhir atau berganti, separuh-separuh, jadi 49 kesempatan berganti menghasilkan rata-rata 24,5 pergantian, kurang lebih sekitar 3,5. Tiga puluh lima berada tiga langkah semacam itu di atas rata-rata; roda yang adil menghasilkan pergantian sebanyak itu sekitar sekali dalam 500 daftar.
Rentetannya menceritakan hal yang sama. Daftar sungguhan berisi 50 warna memiliki rentetan empat atau lebih sekitar 98% dari waktu, dan rentetan terpanjangnya paling sering lima atau enam.
Orang yang diminta mengarang daftar acak terlalu sering berganti warna, karena rentetan empat atau lima tampak bagi mereka seperti pola. Taylor (2021) menunjukkan tanda yang sama pada daftar lempar koin yang dikarang mahasiswa: keacakan sungguhan lebih banyak rentetannya daripada dugaan orang.
Sebuah buku kisah kasino menceritakan seorang pemain yang angkanya keluar lima kali berturut-turut dan menyebutnya rekor. Seberapa langka hal itu pada roda Eropa? Dan seberapa sering hal itu seharusnya terjadi di suatu meja dalam satu kasino dengan 20 meja, masing-masing berputar 40 kali per jam, siang dan malam?
Tampilkan penyelesaian
Jawaban Angka yang disebutkan sebelumnya keluar lima kali berturut-turut: 1 dari 69 juta. Angka apa pun yang keluar empat kali lagi setelah kemunculan pertamanya: 1 dari 1,87 juta. Kasino itu memutar sekitar 7 juta putaran per tahun, jadi rentetan lima seharusnya terjadi di sana tiga atau empat kali setahun.
Angka yang disebutkan sebelumnya keluar dengan probabilitas 1/37 setiap putaran, jadi lima berturut-turut memiliki probabilitas (1/37)⁵ = 1 dari 69.343.957. Tetapi tidak ada yang menyebutkan angkanya terlebih dahulu. Apa pun yang keluar pertama, empat putaran berikutnya harus mengulanginya: (1/37)⁴ = 1 dari 1.874.161.
20 meja × 40 putaran × 24 jam × 365 hari = 7.008.000 putaran per tahun. Setiap putaran dapat memulai rentetan, sehingga kasino dapat mengharapkan 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 rentetan lima per tahun.
Tidak ada rekor resmi semacam ini, dan memang tidak diperlukan: kejadian langka di satu meja adalah kejadian rutin di seluruh kasino, dan kisahnya diceritakan tentang meja tempat hal itu terjadi. Kisah itu, dalam Goldman (2007), berlatar roda nol ganda, dengan angka 1 dari 79 juta dan 1 dari 2,09 juta.
Selingan humor
Rentetan panjang adalah wujud dari keacakan.
Sumber
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.