Soal: Batas Meja
Martingale $10 di meja dengan batas $500. Seberapa sering sistem ini hancur, berapa kerugiannya saat hancur, dan apakah menaikkan batas membantu?
Enam kekalahan berturut-turut menghancurkannya: 1,8% per siklus, sekitar 60% dari sesi 100 putaran. Kehancuran itu berbiaya $630. Menaikkan batas menjadi $5.000 membuat kehancuran lebih jarang (0,25% per siklus) dan lebih besar ($5.110). Ekspektasi kerugian per dolar yang dipertaruhkan tetap 2,70% pada batas berapa pun.
Soalnya
Seorang pemain bertaruh $10 pada merahtaruhanMerahTaruhan 1:1 pada 18 angka merah. Bahasa Prancis: rouge.Baca selengkapnya → dan menggandakan taruhan setelah setiap kekalahan, lalu kembali ke awal setelah menang. Taruhan maksimum meja adalah $500. (a) Berapa kekalahan berturut-turut yang menghancurkan progresistrategiProgresiSetiap aturan yang mengubah nilai taruhan berdasarkan hasil sebelumnya. Progresi negatif menaikkannya setelah kalah, progresi positif setelah menang.Baca selengkapnya → ini? (b) Berapa probabilitasnyamatematikaProbabilitasKemungkinan terjadinya suatu hasil, dari 0 sampai 1 atau 0% sampai 100%. Satu angka: 1/37 = 2,70%.Baca selengkapnya → per siklus? (c) Berapa yang hilang saat hancur? (d) Bagaimana batas $5.000 mengubah jawabannya? (e) Apakah ada batas yang membuat sistem ini menguntungkan?
Penyelesaian (a)–(c)
Nilai taruhan: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Taruhan ketujuh seharusnya 640 > 500, jadi enam kekalahan menghancurkannya. (b) p(kalah) = 19/37 pada merah; (19/37)⁶ = 0,0183, sekitar 1,8% per siklus. Satu siklus rata-rata berlangsung sekitar dua putaran, jadi sesi 100 putaran berisi kira-kira 50 siklus dan p(setidaknya satu kali hancur) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, yaitu 63 unituangUnitTaruhan dasar yang dipakai suatu sistem atau seorang pemain sebagai satuan. Progresi diuraikan dalam unit agar berlaku di meja mana pun.Baca selengkapnya → dasar, dibandingkan dengan $10 yang sedang dikejar siklus itu.
Penyelesaian (d)
Pada $5.000: nilai taruhan sampai 2.560 diizinkan; taruhan kesepuluh, 5.120, ditolak. Sembilan kekalahan menghancurkannya: (19/37)⁹ ≈ 0,25% per siklus, sekitar 11% dari sesi 100 putaran. Kerugian saat hancur: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Pemain telah membeli bencana yang lebih jarang dengan harga bencana yang lebih besar. Dalam banyak sesi, ekspektasi biaya kehancuran adalah p × kerugian ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 per siklus pada batas $500 dan 0,0025 × 5.110 = $12,8 pada $5.000; dalam batas pembulatan, angkanya sama, dan angka itu adalah ekspektasi kerugianmatematikaEkspektasi kerugianNilai harapan dikalikan jumlah total yang dipertaruhkan; jumlah rata-rata yang hilang selama satu sesi atau satu periode.Baca selengkapnya → siklus dikurangi $10 yang dihasilkan siklus-siklus yang menang.
Penyelesaian (e)
Tidak. Ekspektasi kerugian per siklus = (ekspektasi total nilai taruhan dalam siklus) / 37, pada batas berapa pun, karena setiap taruhan adalah −1/37 dari nilainya sendiri. Batas hanya menentukan bagaimana kerugian itu terbagi antara banyak kemenangan kecil dan sedikit kerugian besar. Tanpa batas dan dengan modal bermain (bankroll)uangModal (bankroll)Jumlah total yang disisihkan untuk bermain. Pengelolaan modal berarti memutuskan berapa banyak dari jumlah itu yang dipertaruhkan per taruhan dan per sesi.Baca selengkapnya → tak terbatas, progresi ini akan “berhasil”, dalam arti tidak pernah hancur, dan juga akan mempertaruhkan jumlah yang tak terbatas dengan ekspektasi kerugian 2,70% dari jumlah tak terbatas itu. Bukan batas mejamejaBatas mejaTaruhan minimum dan maksimum yang diizinkan. Taruhan maksimum inilah yang menghentikan progresi penggandaan.Baca selengkapnya → yang membuat MartingalestrategiMartingaleProgresi yang menggandakan taruhan setelah setiap kekalahan. Lihat bagian Strategi untuk apa yang dilakukannya dan apa yang tidak.Baca selengkapnya → tidak berhasil. Aritmetikalah penyebabnya.
Dua Meja Sungguhan
Contoh Thorp adalah meja $1 dengan maksimum $1.000, tempat seorang pemain berharap memenangkan $30 untuk makan malam, satu dolar demi satu dolar. Nilai taruhan 1, 2, 4 … 512 memungkinkan sepuluh taruhan, jadi sepuluh kekalahan berturut-turut menghancurkan progresi ini: satu kali dalam 785 siklus pada roda Eropa (satu kali dalam 613 pada roda Amerika), dengan biaya $1.023. Tiga puluh siklus semuanya berhasil 96,2% dari waktu. Sisanya, 3,8%, kehilangan sekitar $1.000, dan rata-rata hasil malam itu adalah −$9,17, tepat 1/37 dari $339 yang rata-rata dipertaruhkan dalam tiga puluh siklus itu. Meja $5 dengan maksimum $2.000 tidak berbeda: nilai taruhan sampai $1.280 memungkinkan sembilan taruhan, dan kehancuran datang satu kali dalam 403 siklus pada roda Eropa (satu kali dalam 323 pada roda Amerika) dengan biaya $2.555.
Pemain Kaya
Beri progresi ini modal yang besar sebagai ganti batas yang rendah: 1.000 unit, taruhan dasar satu unit, dan 1.000 putaran pada merah, dimulai lagi dari satu unit setiap kali penggandaan berikutnya melebihi sisa modal. Kami menyimulasikan satu juta malam seperti itu. Pada roda Eropa, 52% berakhir untung, 21% kehilangan semuanya, dan rata-rata hasilnya −124 unit. Bahkan dalam permainan tanpa nolrodaNolSatu-satunya kantong hijau, yang tidak dicakup oleh taruhan 1:1, lusin, maupun kolom; sumber keunggulan kasino. Juga: nol tunggal, 0.Baca selengkapnya →, tempat setiap taruhan adil, hanya sekitar 60% yang akan berakhir untung. Malam yang biasa berakhir dengan kemenangan kecil; rata-ratanya dibayar oleh malam-malam yang berakhir di nol.
Pelajarannya
Kasino menetapkan batas untuk membatasi variansmatematikaVariansUkuran seberapa lebar hasil tersebar di sekitar nilai harapan. Tinggi untuk straight up, rendah untuk taruhan 1:1.Baca selengkapnya → mereka sendiri, bukan untuk mengalahkan sistem. Kekalahan Martingale adalah efek samping yang dengan senang hati mereka terima, dan aritmetika akan mengalahkannya juga. Pemain yang mengira batas meja adalah masalahnya telah menemukan tebingnya dan mengira itu lerengnya.
Rumus
Pertanyaan
Modal yang lebih besar memungkinkan Anda bertahan sampai batas yang lebih tinggi, tempat kehancuran lebih jarang dan lebih besar. Ekspektasi kerugian per dolar tidak berubah.
Nilai taruhan 10, 30, 70, 150, 310: batas $500 tercapai setelah lima kekalahan, dan kehancuran itu berbiaya $570. Tetap 2,70%.
Supaya satu pemain tidak dapat bertaruh lebih banyak daripada yang dapat dibayar dengan nyaman oleh cadangan kasino. Pengelolaan varians.
Bermain dengan Matematika
Coba kerjakan sendiri dulu. Setiap penyelesaian dilipat; buka saat Anda siap.
Sebuah MartingalestrategiMartingaleProgresi yang menggandakan taruhan setelah setiap kekalahan. Lihat bagian Strategi untuk apa yang dilakukannya dan apa yang tidak.Baca selengkapnya → dimulai dari $100 pada merahtaruhanMerahTaruhan 1:1 pada 18 angka merah. Bahasa Prancis: rouge.Baca selengkapnya → dan membatasi diri pada paling banyak n taruhan per siklus: setelah n kekalahan berturut-turut, sistem itu menyerah dan mulai lagi. Tuliskan hasil rata-rata satu siklus sebagai rumus dalam n, lalu hitung untuk 5, 6, dan 7 taruhan pada roda Eropa.
Tampilkan penyelesaian
Jawaban Rata-ratanya adalah 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 untuk 5 taruhan, −$17,35 untuk 6, dan −$20,52 untuk 7. Mengizinkan lebih banyak taruhan membuat rata-rata per siklus lebih buruk, bukan lebih baik.
Satu siklus menang $100 kecuali semua n taruhan kalah, yang terjadi dengan probabilitas qⁿ, dengan q = 19/37. Jika semuanya kalah, nilai taruhan 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ berjumlah 100 × (2ⁿ − 1). Jadi rata-ratanya adalah 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Di sini 2q = 38/37, sedikit lebih dari 1, sehingga (2q)ⁿ tumbuh seiring n dan rata-ratanya turun: n = 5 memberi 1,1426 dan −$14,26; n = 6 memberi 1,1735 dan −$17,35; n = 7 memberi 1,2052 dan −$20,52. Tangga yang lebih panjang lebih jarang kalah, pada 3,6%, 1,8%, dan 0,9% siklus, tetapi setiap kekalahannya dua kali lebih besar, dan setiap siklus lebih banyak uang yang dipertaruhkan di meja, masing-masing dengan 2,70% dari setiap taruhan.
Pada roda Amerika 2q = 40/38 dan angkanya adalah −$29,24, −$36,04, dan −$43,20 (Taylor, 2021). Dalam permainan tanpa nolrodaNolSatu-satunya kantong hijau, yang tidak dicakup oleh taruhan 1:1, lusin, maupun kolom; sumber keunggulan kasino. Juga: nol tunggal, 0.Baca selengkapnya →, 2q = 1, dan rata-rata setiap siklus tepat nol, berapa pun panjang tangganya.
“Grand Martingale” menggandakan nilai taruhan setelah kalah dan menambahkan satu unituangUnitTaruhan dasar yang dipakai suatu sistem atau seorang pemain sebagai satuan. Progresi diuraikan dalam unit agar berlaku di meja mana pun.Baca selengkapnya →, sehingga nilai taruhannya 1, 3, 7, 15, 31 … Berapa keuntungan Anda saat kemenangan pertama datang pada taruhan ke-1, ke-2, ke-3 atau ke-k? Dengan unit $10 dan maksimum $500, seberapa sering satu siklus gagal, dan berapa yang hilang dalam satu siklus secara rata-rata?
Tampilkan penyelesaian
Jawaban Kemenangan pada taruhan ke-k membuat Anda untung k unit: +1, +2, +3 dan seterusnya. Dengan $10 dan $500, siklus gagal setelah lima kekalahan, 3,57% siklus, dengan hasil −$570. Secara rata-rata satu siklus kehilangan $2,32 dari $85,73 yang dipertaruhkan: 2,70%.
Nilai taruhan ke-k adalah 2ᵏ − 1 unit: 1, 3, 7, 15, 31. Jumlah k − 1 nilai taruhan pertama adalah 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Kemenangan pada taruhan ke-k membayar 2ᵏ − 1, jadi siklus berakhir dengan untung (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unit: satu unit tambahan untuk setiap kekalahan sebelum kemenangan.
Dengan $10 per unit, nilai taruhannya $10, $30, $70, $150 dan $310; berikutnya, $630, melebihi maksimum $500. Lima kekalahan berturut-turut, (19/37)⁵ = 3,57%, menelan 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Rata-rata: kemenangan menghasilkan $10 × k dengan probabilitas (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 untuk k = 1 sampai 5, dan siklus yang gagal mengambil $570 dengan probabilitas 3,57%; bersama-sama −$2,32. Uang yang dipertaruhkan rata-rata $85,73 per siklus, dan 2,32/85,73 = 2,70%. Martingale biasa di meja yang sama gagal setelah enam kekalahan, 1,83% siklus, dengan hasil −$630, dan kehilangan $1,74 dari $64,20 yang dipertaruhkan: lagi-lagi 2,70%.
Seorang pemain merencanakan Martingale pada merah dengan taruhan pertama $1 di meja yang batasnya $1.000, sehingga sepuluh taruhan dimungkinkan: $1, $2, $4, dan seterusnya sampai $512. Seberapa sering sebuah siklus kalah pada kesepuluh taruhan itu, berapa lama rata-rata waktu sampai hal itu terjadi, dan seberapa sering satu malam dengan 200 taruhan berakhir seperti itu?
Tampilkan penyelesaian
Jawaban Sebuah siklus kalah pada kesepuluh taruhan kira-kira sekali dari 784 siklus, dengan kerugian $1.023. Itu rata-rata sekitar 1.600 taruhan, dan satu malam dengan 200 taruhan menabrak tembok itu pada sekitar 11% kasus. Sebuah siklus tetap kehilangan rata-rata $0,31 dari $11,31 yang dipertaruhkan: 2,70%.
Taruhan pada merah kalah dengan probabilitas 19/37, nol sudah termasuk. Sepuluh kali berturut-turut: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, sekitar 1 dari 784. Nilai taruhan 1 + 2 + 4 + … + 512 berjumlah $1.023.
Sebuah siklus rata-rata berlangsung 2,05 taruhan, jadi 784 siklus memakan sekitar 1.600 taruhan. Dihitung putaran demi putaran, rentetan sepuluh kekalahan muncul di suatu tempat dalam 200 taruhan pada 11,3% kasus.
Di antara bencana, pemain memenangkan $1 per siklus: sekitar $783 sebelum siklus yang buruk, lalu −$1.023, sekitar −$240 untuk seluruh rentang itu. Per siklus: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Uang yang dipertaruhkan per siklus: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Dan −0,31/11,31 = −2,70%.
Bandingkan dengan taruhan pertama $10 pada batas $500, enam taruhan: tembok itu datang sekali dalam 55 siklus, dan satu malam dengan 200 taruhan menabraknya pada 84% kasus. Batas yang lebih tinggi membuat kehancuran lebih jarang dan lebih besar, bukan lebih murah.
Selingan humor
Lebih jarang dan lebih besar, pada batas berapa pun. Hasil kalinya tetap.
Sumber
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.