Soal: Roda Ulang Tahun
Berapa putaran sebelum ada angka yang keluar lagi? Jauh lebih sedikit daripada tebakan kebanyakan orang.
Masalah ulang tahun pada roda dengan 37 kantongperalatanKantongSalah satu dari 37 ruang bernomor pada rotor. Juga: slot, cup.Baca selengkapnya →: setelah hanya 8 putaran, probabilitas bahwa ada angka yang sudah muncul dua kali sudah lebih dari separuh. Pemain membaca pengulangan sebagai pola; padahal pengulangan adalah perilaku yang wajar dari roda yang adil.
Soalnya
Putar roda Eropa yang adil. Berapa putaran sampai probabilitasmatematikaProbabilitasKemungkinan terjadinya suatu hasil, dari 0 sampai 1 atau 0% sampai 100%. Satu angka: 1/37 = 2,70%.Baca selengkapnya → bahwa setidaknya dua putaran menunjukkan angka yang sama melebihi separuh? Kebanyakan pemain menebak sekitar 18 atau 19, separuh dari 37. Jawabannya 8.
Penyelesaiannya
Hitung probabilitas tidak ada pengulangan, lalu kurangkan dari satu. Setelah k putaran, p(semua berbeda) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Untuk k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, jadi p(ada pengulangan) ≈ 0,56. Untuk k = 14 nilainya 0,93; untuk k = 20 nilainya 0,996. Intuisi gagal karena jumlah pasangan putaran tumbuh seperti k², dan pasangan mana pun bisa cocok.
Mengapa Ini Penting di Meja
Papan hasil yang menampilkan 20 angka terakhir hampir selalu menunjukkan setidaknya satu pengulangan, sering kali dua atau tiga. Pemain melihat “17 keluar dua kali dalam sepuluh putaran” dan menyimpulkan bahwa 17 sedang panas; aritmetika ulang tahun menunjukkan bahwa pengulangan dalam sepuluh putaran terjadi 74% dari waktu dan angka yang berulang itu acak. Polanya nyata; maknanya tidak.
Soal Lanjutan
Berapa putaran sampai sebuah angka tertentu, misalnya 17, muncul dua kali? Itu pertanyaan yang berbeda dengan jawaban yang jauh lebih besar: ekspektasi waktu tunggunya 74 putaran, dan probabilitas dua kali angka 17 dalam 20 putaran sekitar 10%. Perbedaan antara “ada angka yang berulang” (8 putaran) dan “angka ini berulang” (74 putaran) adalah seluruh perbedaan antara pola yang Anda sadari sesudahnya dan ramalan yang Anda buat sebelumnya.
Cobalah
Jalankan Permainan Demo selama sepuluh putaran dan lihat riwayatnya. Biasanya akan ada pengulangan. Jalankan lagi. Angka yang berulang akan berbeda. Lakukan ini sepuluh kali dan Anda sudah melihat masalah ulang tahunmatematikaMasalah ulang tahunBerapa banyak orang yang dibutuhkan sebelum dua di antaranya kemungkinan besar berulang tahun pada hari yang sama, atau berapa putaran sebelum sebuah angka kemungkinan besar terulang. Pada roda 37 kantong, 8 putaran sudah cukup untuk peluang yang lebih baik dari seimbang.Baca selengkapnya →; lakukan seribu kali (simulator bisa melakukannya) dan Anda sudah mengukurnya.
Rumus
Pertanyaan
Persis, dengan 37 kantong sebagai ganti 365 hari. 23 orang memberikan 50% untuk ulang tahun; 8 putaran memberikan 56% untuk roda.
50% setelah sekitar 19 putaran. Tetap hal yang biasa.
Tidak. Ribuan putaran dari satu roda bisa menandakannya; sebuah pengulangan tidak pernah.
Bermain dengan Matematika
Coba kerjakan sendiri dulu. Setiap penyelesaian dilipat; buka saat Anda siap.
Papan hasil di samping roda Amerika menampilkan 16 putaran terakhir. Seberapa besar probabilitas bahwa tidak ada angka yang muncul dua kali di papan itu?
Tampilkan penyelesaian
Jawaban Sekitar 2,5%: kira-kira 39 dari 40 papan menampilkan setidaknya satu angka yang berulang.
Hitung putaran demi putaran. Putaran pertama bisa apa saja. Putaran kedua harus berbeda darinya: 37 kemungkinan dari 38. Putaran ketiga harus berbeda dari keduanya: 36 dari 38. Putaran keenam belas harus berbeda dari lima belas angka: 23 dari 38.
Kalikan: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Papan tanpa pengulanganlah yang langka. Papan dengan pengulangan tidak mengatakan apa pun tentang roda.
Dalam sepuluh putaran roda Eropa, berapa probabilitas bahwa 17 keluar tepat lima kali? Bahwa suatu angka, angka apa pun, keluar lima kali atau lebih? Dan bahwa suatu angka keluar setidaknya tiga kali dalam empat putaran?
Tampilkan penyelesaian
Jawaban 17 tepat lima kali: 1 dari 315.576. Suatu angka lima kali atau lebih: sekitar 1 dari 8.333. Suatu angka tiga kali atau lebih dalam empat putaran: 1 dari 349.
17 lima kali: pilih lima dari sepuluh putaran, 252 cara, masing-masing dengan probabilitas (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Bersama-sama, 1 dari 315.576.
Suatu angka: masing-masing dari 37 angka memiliki probabilitas 1 dari 308.325 untuk keluar lima kali atau lebih, sehingga totalnya 37 dari 308.325, atau 1 dari 8.333. Kasus langka dua angka yang masing-masing keluar lima kali terhitung dua kali, tetapi membuangnya tidak mengubah apa pun pada tingkat ketelitian ini.
Tiga kali dalam empat putaran: untuk satu angka, 4 × 36 + 1 = 145 dari 37⁴ hasil yang mungkin; untuk salah satu dari 37 angka, 145/37³ = 1 dari 349.
Wizard of Odds menjawab versi nolrodaNolSatu-satunya kantong hijau, yang tidak dicakup oleh taruhan 1:1, lusin, maupun kolom; sumber keunggulan kasino. Juga: nol tunggal, 0.Baca selengkapnya → ganda dari pertanyaan-pertanyaan ini; angka kami untuk roda itu adalah 1 dari 359.275, 1 dari 9.243 dan 1 dari 368. Selisih antara “17” dan “suatu angka” lagi-lagi adalah masalah ulang tahunmatematikaMasalah ulang tahunBerapa banyak orang yang dibutuhkan sebelum dua di antaranya kemungkinan besar berulang tahun pada hari yang sama, atau berapa putaran sebelum sebuah angka kemungkinan besar terulang. Pada roda 37 kantong, 8 putaran sudah cukup untuk peluang yang lebih baik dari seimbang.Baca selengkapnya →: ada 37 cara untuk dikejutkan.
Selingan humor
Sesuatu berulang sejak awal. Sesuatu itu acak.
Sumber
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, pertanyaan tentang rolet.